Алгебра – 11 класс. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона. Бетон ньютона


Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике - Алгебра

Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля

Формула бинома Ньютона

      В Таблице 1 из раздела «Формулы сокращенного умножения» приведены формулы для натуральных степеней бинома

(x + y)n

в случаях, когда   n = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

      В настоящем разделе рассматривается общий случай этой формулы, т.е. случай произвольного натурального значения  n .

      Материал настоящего раздела близко связан с материалом разделов «Формулы сокращенного умножения: степень суммы и степень разности», «Треугольник Паскаля» и «Комбинаторика: размещения и сочетания».

      Утверждение. Для любого натурального числа   n   и любых чисел  x  и  y  справедлива формула бинома Ньютона:

где

Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля(2)

– числа сочетаний из  n  элементов по  k  элементов.

      В формуле (1) слагаемые

Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля

называют членами разложения бинома Ньютона, а числа сочетаний Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля – коэффициентами разложения или биномиальными коэффициентами.

      Если в формуле (1) заменить   y   на   – y ,   то мы получим формулу для   n - ой степени разности:

Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником ПаскаляБином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником ПаскаляБином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля

Связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля

      Напомним, что треугольник Паскаля имеет следующий вид:

Треугольник Паскаля
01
11     1
21     2     1
31     3     3     1
41     4     6     4     1
51     5     10     10     5     1
61     6     15     20     15     6     1

      Поскольку числа, составляющие треугольник Паскаля, являются биномиальными коэффициентами, то треугольник Паскаля можно переписать в другом виде:

Свойства биномиальных коэффициентов

      Для биномиальных коэффициентов справедливы равенства:

  1. Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
  2. Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
  3. Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
  4. Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником ПаскаляБином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля

к доказательству которых мы сейчас и переходим.

      Докажем сначала равенство 1.

      Это равенство отражает основное свойство треугольника Паскаля, заключающееся в том, что в каждой из строк треугольника Паскаля, начиная со строки с номером   2 ,   между числами   1   стоят числа, каждое из которых равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предыдущей строке.

      Для доказательства равенства 1 воспользуемся формулой (2):

Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником ПаскаляБином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником ПаскаляБином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля

что и требовалось.

      Для доказательства равенства 2 положим в формуле бинома Ньютона (1)    x = 1,   y = 1.

      Если же в формуле бинома Ньютона (1) взять   x = 1,   y = –1, то получится равенство 3.

      Перейдем к доказательству равенства 4. С этой целью положим в формуле бинома Ньютона (1)    y = 1

Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником ПаскаляБином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля(3)

      Воспользовавшись очевидным равенством

Комбинаторика размещения и сочетания

перепишем формулу (3) в другом виде

Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником ПаскаляБином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля(4)

      Если теперь перемножить формулы (3) и (4), то мы получим равенство:

Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником ПаскаляБином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля(5)

      Если к левой части формулы (5) применить формулу бинома Ньютона, а затем, раскрыв в правой части скобки и приведя подобные члены, приравнять коэффициенты при   xn в левой и в правой частях, то мы получим следующее равенство:

Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником ПаскаляБином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником ПаскаляБином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля

что и требовалось.

 

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

Бином Ньютона, формула и пример решения по алгебре в 11 классе

Ребята, на прошлом уроке мы с вами изучали перестановки и размещения. Сегодня мы остановимся на одном из самых замечательных применением формулы перестановок. Числа $C_n^{k}$ имеют очень красивую и знаменитую запись, которая имеет большое значение. Такая запись называется треугольником Паскаля: Бином Ньютона Правило записи треугольника легко запомнить. Каждое число в треугольнике паскаля равно сумме двух чисел, стоящих над ними в предыдущей строке. Давайте распишем несколько строк: Бином Ньютона Математически свойство подсчета числа сочетаний без повторений можно записать еще вот так: Бином Ньютона Как оказалось треугольника Паскаля находит свое применение и в другой математической задаче. Давайте вспомним несколько правил возведения в квадрат суммы. Самое первое правило, которое мы с вами выучили, это квадрат суммы: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Довольно таки легко найти выражение и для следующей степени, используя правила перемножения многочленов: $(a+b)^3=(a^2+2ab+b^2)(a+b)=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$. Проделаем эту же операцию и для четвертой степени: $(a+b)^4=(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)(a+b)=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$.

Выпишем для наглядности все наши формулы:$(a+b)^1=a+b$.$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.$(a+b)^3=(a^2+2ab+b^2)(a+b)=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.$(a+b)^4=(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)(a+b)=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$.

Давайте проведем небольшой анализ полученных формул.

Обратить внимание: показатель степени в левой части равен сумме показателей степеней в правой части для любого слагаемого.

Для четвертой степени, очевидно, что слева показатель равен 4. В правой части показатель степени при первом слагаемом равен для а четырем, для b нулю и в сумме равен 4.

Для второго слагаемого сумма показателей равна $3+1=4$, для следующего - $2+2=4$ и так до самого конца сумма показателей равна 4.

Ребята, посмотрите внимательно на коэффициенты в правой части. Что он вам напоминает? Правильно, коэффициенты образуют треугольник Паскаля.

Эти два замечательных свойства, замеченных выше, позволяют вычислять сумму двух одночленов в n-ой степени:$(a+b)^n=C_n^{0}a^n+C_n^{1}a^{n-1}b+C_n^{2}a^{n-2}b^2+C_n^{3}a^{n-3}b^3+...+C_n^{k}a^{n-k}b^k+...+C_n^{n-1}ab^{n-1}+C_n^{n}b^n$.

Давайте попробуем доказать нашу формулу:Рассмотрим слагаемое, стоящее на месте под номером $k+1$. По написанной выше формуле получаем, вот такое слагаемое: $C_n^{k}a^{n-k}b^k$.Нам нужно доказать, что коэффициент при данном одночлене как раз и равен $C_n^{k}$.Для того, чтобы двучлен возвести в n-ую степень нам нужно этот двучлен умножить на себя n раз, то есть: Бином НьютонаЧтобы получить требуемое слагаемое надо выбрать k штук множителей для b. Тогда получается $n-k$ множителей для а. В каком порядке будем выбирать данные множители не важно. Эта задача есть ни что иное как: число сочетаний из n элементов по k без повторений или $C_n^{k}$. Наша формула доказана.

Полученная нами формула называется "Бином Ньютона".

$(a+b)^n=C_n^{0}a^n+C_n^{1}a^{n-1}b+C_n^{2}a^{n-2}b^2+C_n^{3}a^{n-3}b^3+...+C_n^{k}a^{n-k}b^k+...+C_n^{n-1}ab^{n-1}+C_n^{n}b^n$.

Коэффициенты, стоящие перед слагаемыми, это биномиальные коэффициенты.

Пример. Раскрыть скобки: а) $(y+1)^7$; б) $(z^2-3t)^5$.Решение. Применим нашу формулу:$а(y+1)^7=C_7^{0}y^7+C_7^{1}*y^6*1+C_7^{2}*y^5*1^2+C_7^{3}*y^4*1^3+C_7^{4}*y^3*1^4+$$+C_7^{5}*y^2*1^5+C_7^{6}*y*1^6+C_7^{7}*1^7$.

Вычислим все коэффициенты:$C_7^{0}=1$; $C_7^{1}=7$; $C_7^2=\frac{7!}{2!5!}=21$; $C_7^3=35$; $C_7^4=35$; $C_7^5=21$; $C_7^6=7$; $C_7^7=1$.

В итоге получаем: $(y+1)^7=y^7+7*y^6+21*y^5+35*y^4+35*y^3+21*y^2+7*y+1$.

б) $(z^2-3t)^5=C_5^{0}*(z^2)^5+C_5^{1}*(z^2 )^4*(-3t)^1+C_5^{2}*(z^2)^3*(-3t)^2+$$C_5^{3}*(z^2 )^2*(-3t)^3+C_5^{4}*(z^2)^1*(-3t)^4+C_5^{5}*(z^2)^0*(-3t)^5=$$z^{10}+5*z^8*(-3t)+10*z^6*(9t^2)+10*z^4*(-27t^3)+5*z^2*(81t^4)-243t^5=$$z^{10}-15z^8 t+90z^6t^2-270z^4t^3+405z^2t^4-243t^5$.

В конце урока обратим вниманием на еще одно удивительное свойство.Рассмотрим двучлен: $(x+1)^n$.Используя Бином Ньютона получим: При $х=1$ получаем: $(x+1)^n=C_n^{0}x^n+C_n^{1}x^{n-1}+C_n^{2}x^{n-2}+C_n^{3}x^{n-3}+...+C_n^{n-2}x^{2}+C_n^{n-1}x+C_n^{n}$.При $х=1$ получаем: $2^n=C_n^{0}+C_n^{1}+C_n^{2}+C_n^{3}+...+C_n^{n-2}+C_n^{n-1}+C_n^{n}$.

Задачи для самостоятельного решения

Избавтесь от скобок: а) $(x+2)^6$; б) $(3x+2y)^4$; в) $(2z-2t)^8$; г) $(x-4y)^5$.

mathematics-tests.com

Ведро Ньютона, принцип Маха и существование пространства-времени

Существует ли пространство-время само по себе? Другими словами, можно ли говорить о пространстве-времени, в котором нет ни одного физического тела? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим следующий мысленный эксперимент, известный как «ведро Ньютона».

Stanley Zimny / flickr.com

Эксперимент этот заключается в следующем. Как правило, чтобы задать систему отсчета, мы выбираем несколько тел, с которыми связываем начало отсчета и с помощью которых задаем направление координатных осей. Теперь предположим, что в нашей Вселенной нет никаких тел — кроме одинокой тарелки с песком (или ведра с водой), которая покоится во всемирной пустоте. Или не покоится? Может быть, на самом деле она в этой пустоте летит с огромной скоростью. Мы же не можем привязать ее к какой-либо системе отсчета, а потому отсчитывать скорость нам не от чего.

Но это еще не самая большая проблема. Как известно, системы отсчета бывают инерциальными (для краткости ИСО) и неинерциальными (НИСО). В свое время Ньютон постулировал, что инерциальные системы существуют — собственно, в этом заключается суть Первого закона Ньютона. Много лет спустя Эйнштейн положил понятие такой системы в основу принципа относительности, который утверждает, что во всех ИСО физические процессы идут одинаково. Другими словами, нельзя отличить одну инерциальную систему отсчета от другой, ограничиваясь только внутренними процессами.

А вот отличить ИСО и НИСО можно. Например, поместим вышеупомянутую тарелку с песком в системе отсчета, которая вращается вокруг оси тарелки с постоянной скоростью. Допустим, тарелка в этой системе покоится. Однако на самом деле покой является мнимым: выбранная нами система является неинерциальной, и в действительности на песок будет действовать центробежная сила — песчинки станут разлетаться в разные стороны. В инерциальной системе отсчета такие эффекты наблюдаться не будут.

Что же делать, если мы не можем привязать оси нашей системы к другим телам? Как понять, в инерциальной системе находится тарелка с песком или в неинерциальной? Говоря проще — будет с нее сползать песок или нет? Разрешить этот парадокс можно несколькими способами.

Например, Ньютон считал, что в действительности существует некоторое абсолютное пространство, с которым всегда можно связать инерциальную систему отсчета. Соответственно, если мы перейдем в эту абсолютную систему и увидим, что тарелка вращается, песок с нее сползать будет. Движение относительно абсолютной системы Ньютон называл абсолютным, движение относительно любой другой системы — относительным. В «Математических началах натуральной философии» он писал: «Истинное круговое движение какого-либо тела может быть лишь одно в полном соответствии с силою стремления его от оси, относительных же движений, в зависимости от того, к чему они относятся, тело может иметь бесчисленное множество; но независимо от этих отношений, эти движения совершено не сопровождаются истинными проявлениями, если только это тело не обладает, кроме этих относительных, и сказанным единственным истинным движением».

Другая точка зрения на этот вопрос была предложена физиком и философом Эрнстом Махом в конце XIX века. Он считал, что в действительности абсолютной системы не существует и вращение тела нужно определять в системе отсчета, связанной с удаленными звездами. Другими словами, случай, когда тарелка покоится, а окружающая Вселенная вращается относительно нее с постоянной скоростью, полностью эквивалентен вращению тарелки в покоящейся Вселенной. А если никаких тел во Вселенной, кроме тарелки, нет, то задавать вопрос о ее вращении просто некорректно.

Эти соображения привели Маха к формулировке принципа, получившего впоследствии его имя. Заключается принцип в следующих трех утверждениях:

  1. Существование пространства и времени неразрывно связано с существованием физических тел. Удаление всех физических тел прекращает существование пространства и времени.
  2. Причиной существования инерциальных систем отсчета является наличие далеких космических масс.
  3. Инертные свойства каждого физического тела определяются всеми остальными физическими телами во Вселенной и зависят от их расположения.

Принцип Маха оказал большое влияние на развитие науки. В частности, Альберт Эйнштейн считал, что этот принцип будет выполняться в разрабатываемой им Общей теорией относительности, в которой свойства пространства-времени определяются находящимися в нем телами. Когда Эйнштейн обнаружил, что системы отсчета будут увлекаться вращающимся массивным телом, он был так доволен, что написал об этом письмо Маху: «…оказывается, что инерция определяется взаимодействием между телами, совершенно в духе ваших соображений об эксперименте Ньютона. <…> Если кто-то вращает [массивную оболочку] относительно неподвижных звезд вокруг оси, проходящей через ее центр, внутри нее возникает сила Кориолиса; таким образом, плоскость маятника Фуко начинает поворачиваться (с неизмеримо малой на практике угловой скоростью)». В дальнейшем этот эффект был подробно описан Лензе и Тиррингом и экспериментально подтвержден спутником Gravity Probe B.

Правда, в конечном счете принцип Маха оказался не совместим с Общей теорией относительности. В этой теории информация об окружающих тело объектах может распространяться только с конечной скоростью (не быстрее скорости света), то есть инертные свойства тела не могут определяться всеми другими телами Вселенной. К тому же в ОТО нельзя говорить об инерциальных системах отсчета вообще, поскольку геометрия пространства-времени в разных точках отличается. Можно ввести только локально инерциальную систему отсчета.

Кроме того, принцип Маха имеет еще один существенный недостаток — он не сформулирован в строгой математической форме. Проще говоря, не совсем понятно, в чем этот принцип заключается. Например, не ясно, что значит «инертные свойства каждого физического тела определяются другими физическими телами». Поэтому сейчас существует несколько сравнительно строгих формулировок принципа Маха (порядка десяти). Большинство из них можно найти в обзорной статье Германа Бонди (Hermann Bondi) и Джозефа Самуэла (Joseph Samuel).

Тем не менее, в дальнейшем ученые не оставили попытки сформулировать теорию гравитации, которая будет удовлетворять принципу Маха. Например, такая теория была предложена в 1961 году Карлом Брансом (Carl Brans) и Робертом Дикке (Robert Dicke). В этой модели материя влияет на метрику не только непосредственно (как в ОТО), но и через дополнительно введенное скалярное поле. Физически это поле проявляется в изменении гравитационной постоянной около массивных тел.

Впрочем, основная часть физического сообщества продолжает придерживаться хорошо проверенной на практике теории Эйнштейна, в которой пространство-время может существовать и само по себе, без вложенных в него тел.

nplus1.ru


Смотрите также